佐仓杏子

Aα是A的列向量的一个线性组合，也就是A列空间中的一个向量。

要让Aα-Y的模最小，自然要求Aα-Y与A所有每个列向量正交，否则总可以消除掉其中可以投影到A列空间的部分来减小模长：因为任何向量V总是可以分解到某一子空间（这一例中是A的列空间）和其正交补空间上：$V=V_\parallel+V_\perp$；而向量的模平方是这两部分模方之和，如果我们希望向量的模最小，那就应该消除掉A列空间中的那一部分，只保留与其正交的部分。

假设A的列空间是$\{ A_1,\,A_2,\cdots A_n \}$，$\alpha=(\alpha_1,\,\alpha_2,\cdots\alpha_n)^T$

如果存在Aα-Y和A的某个列向量（比如$A_i$）内积不为0，假设为$\lambda$，那总可以考虑$A\alpha-Y-\lambda\frac{A_i}{\left|A_i\right|^2}=A\alpha^\prime-Y$有更短模长。