Cauch 果然有人往调和方程这方面考虑了233
一个残酷的事实是，这个结论的正确与否，可能取决于你最要好的朋友是不是也把你当成最要好的朋友。
更准确的模型应该是这样：把所有的“最要好的朋友关系”抽象为一个有向图G=(V,E)，有从i到j的道路当且仅当j是i的最要好的好友之一，并记为[i,j]\in E，或者j\sim i。如果“每个人最要好的朋友也总是把他当成最要好的朋友”，那么G就是一个无向图，即[i,j]\in E当且仅当[j,i]\in E。把人的能力抽象为V到某个带有偏序的有限维实线性空间A中的映射u，即第i个人的能力为u(i)\in A（因为显然不是任何两个人的能力都有高下之分，所以只能要求偏序；又因为我们想要取平均值，所以应该有线性结构；最后人类的个数是有限的，因此我们不妨简化为有限维的线性空间）。自然地，我们要求A上的偏序和线性结构相容，即
（写完之后才发现并没有用到偏序性质，懒得改了）
有限维实线性空间上自然地有内积结构，且任何两个内积诱导的范数等价，因此我们可以任意选取一个，记为\langle\cdot,\cdot\rangle。令H=A^V是所有V到A的映射组成的空间，代表所有可能的“人类能力分布情况”。H上有自然的内积\langle\langle f,g\rangle\rangle=\sum_{i\in G} \langle f(i),g(i)\rangle。有了这些准备，我们可以定义算子\Delta: H\to H，\Delta f(i)=\sum_{j\sim i} \left(f(i)-f(j)\right)，称为Laplace算子。
引理. （Green公式） 如果G是无向图，那么
\langle\langle \Delta f, g\rangle\rangle=\frac12\sum_{i\sim j}\langle f(i)-f(j),g(i)-g(j)\rangle
注. 这个等式告诉了我们为什么\Delta也叫做Laplace算子。右边有个\frac12是因为当我们把无向图视为特殊的有向图时，每条边被求和了两次。
证明. \langle\langle \Delta f, g\rangle\rangle=\sum_{i\in V}\left\langle\sum_{j\sim i}\left(f(i)-f(j)\right),g(i)\right\rangle
=\sum_{i\sim j}\left\langle\left(f(i)-f(j)\right),g(i)\right\rangle
=\frac12\left(\sum_{i\sim j}\left\langle\left(f(i)-f(j)\right),g(i)\right\rangle+\sum_{j\sim i}\left\langle\left(f(i)-f(j)\right),g(i)\right\rangle\right)
=\frac12\sum_{i\sim j}\langle f(i)-f(j),g(i)-g(j)\rangle.\qquad \square
推论.
\langle\langle \Delta f, f\rangle\rangle=\frac12\sum_{i\sim j}\langle f(i)-f(j),f(i)-f(j)\rangle\ge0.
至此，我们终于可以回到原问题。如果lz的理论成立，即人的水平是他最要好的朋友的平均值，那么根据定义，\Delta u\equiv 0。根据上面的推论，\langle u(i)-u(j),u(i)-u(j)\rangle=0，\forall i,j\in V。这意味着u(i)=u(j)，\forall i, j\in E。这说明u在它的每个连通分支上都是常值的！也就是说，每个人和他所有要好的朋友都是完全相同的水平。根据生活经验，这是不可能的，矛盾。
然而我们一开始的假定就是有错误的，很可能存在一个人把另一个人当朋友而另一个人只把他当普通的同学这种情况（悲）。
以上内容仅供一乐，请勿当真。
