无质量矢量场

令有质量拉氏量中质量项趋于零得到无质量矢量场的拉氏量：
$$\mathcal{L}=-\frac 14 F_{\mu\nu}^2$$
此时归一化条件会导致纵向极化矢量发散，但可以考虑此时与类光的动量成正比的向前极化矢量：
$$\epsilon_\mu^f\propto p^\mu=(E,0,0,p_z)\to(E,0,0,E)$$
如前所述，该极化矢量不描述物理的自旋1粒子；无质量矢量场仅有两个自由度，我们从无质量拉氏量的形式中很容易发现剩余的一个规范自由度，即当矢量场做如下变换时：
$$A^\mu(x)\to A^\mu(x)+\partial^\mu\alpha(x)$$
时，拉氏量保持不变，其中$\alpha(x)$为时空的任意函数。当$m\neq0$时，我们发现拉氏量并不存在这种不变性，这使我们确信规范自由度确实是无质量矢量场所特有的，冗余自由度的体现。

我们可以通过规范选取的方式来约束这一自由度，常见的规范是库伦规范，要求：
$$\partial_jA^j=0$$
但库仑规范不能完全消除冗余自由度。考虑此时$A^0$的运动方程为：
$$\partial_j^2A^0=0$$
我们发现$A^0$在规范变换$A^0\to A^0+\partial_t\alpha$下，总是满足该方程，不妨取$A^0=const=0$，这样就完全消除了规范自由度。

另一种常见的规范是在前文处理有质量规范场时用到的$\partial_\mu A^\mu=0$，称为Lorenz规范；注意到在零质量情况下，这一约束不再是直接成立的；Lorenz规范同样无法完全消除冗余自由度，它会得到一个前述的向前极化矢量，我们要将这个非物理自由度舍弃。

标量QED与规范对称性

考虑矢量场$A^\mu$与标量场$\phi$的耦合，我们希望耦合在$A^\mu$的规范变换下保持形式不变。如果$\phi$在规范变换下不变，则耦合的形式将必然发生改变。对于复矢量场$\phi$而言，一个可以接受的变换是全局相位变换$\phi \to e^{-i\theta}\phi$，现在我们推广到局域的相位变换$\phi \to e^{-i\alpha(x)}\phi，其中$$\alpha(x)$是时空的任意（连续）函数，我们会发现我们确实能在如下规范变换中保持耦合项形式不变：
$$\begin{cases} A^\mu\to A^\mu+\frac 1 e \partial^\mu \alpha(x)\\ \phi\to e^{-i\alpha(x)}\phi \end{cases}$$
其中矢量场变换中的e是耦合常数。只需要考虑以下协变导数：
$$D^\mu\triangleq \partial^\mu+ieA^\mu$$
我们有：
$$\begin{aligned} D^\mu \phi\to &(\partial^\mu+ieA^\mu+i\partial^\mu\alpha(x))e^{-i\alpha(x)}\phi\\ &=e^{-i\alpha(x)}(\partial^\mu+ieA^\mu)\phi\\ &=e^{-i\alpha(x)}D^\mu\phi \end{aligned}$$
从而$(D_\mu\phi)^\dagger D^\mu\phi\to (D_\mu\phi)^\dagger e^{i\alpha(x)}e^{-i\alpha(x)} D^\mu\phi=(D_\mu\phi)^\dagger D^\mu\phi$保持不变。由此我们得到最小耦合的拉氏量：
$$\mathcal{L}=-\frac 14 F_{\mu\nu}^2-m^2\phi^\dagger\phi+(D_\mu\phi)^\dagger D^\mu\phi$$
其规范变换的守恒流为：
$$J^\mu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\frac{\delta\phi}{\delta\alpha}=-i( \partial\phi^\dagger \phi-\phi^\dagger \partial\phi)-2eA_\mu\phi^\dagger\phi$$
第一项正是自由复标量场的守恒流。进一步我们发现，拉氏量中的非自由项（耦合项）总有$A_\mu J^\mu$的形式。

无质量矢量场的量子化与传播子

与有质量矢量场类似，我们写出场算符，只不过此时求和指标只取到2：
$$A^\mu(x)=\int\frac{\mathrm{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \frac 1{\sqrt{2\omega _p}} \sum_{\sigma=1}^2\left(\epsilon_\sigma^\mu(p)a_{p,\sigma}e^{-ipx}+\epsilon_\sigma^{\mu\star}(p)a_{p,\sigma}^\dagger e^{-ipx}\right)$$
其等时对易关系与标量场也是类似的，这里我们取库伦横场规范，不考虑$A^0$与其共轭动量$\pi^0$，因为它们都为0：
$$[A^i,A^j]=[\pi^i,\pi^j]=0,\ [A^i(\vec{x}),\pi^j(\vec{y})]=i\tilde\delta^{ij}(\vec{x}-\vec{y})$$
其中$\tilde\delta^{ij}(\vec{x}-\vec{y})=(\delta^{ij}+\frac{\partial^i \partial^j}{\nabla^2})\delta(\vec{x}-\vec{y})$为无散$\delta$函数，这一引入是技术性的，仅是为了满足库仑规范的要求。由等时对易关系，得到产生湮灭算符的对易关系：
$$[a_{p,\sigma},a_{p^\prime,\sigma^\prime}]=[a_{p,\sigma}^\dagger,a_{p^\prime,\sigma^\prime}^\dagger]=0,\ [a_{p,\sigma},a_{p^\prime,\sigma^\prime}^\dagger]=\delta_{\sigma\sigma^\prime}\delta(\vec{p}-\vec{p}^\prime)$$
其动量为：
$$\int \mathrm{d}^3x \mathcal{P}^\mu= \int \mathrm{d}^3x\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0A^\nu)}\partial^\mu A_\nu-\mathcal{L} g^{0\mu} \\=-\int\mathrm{d}^3\bold{k}\frac 12k^\mu g^{\sigma\sigma^\prime}(a_{\bold{k}\sigma}a_{\bold{k}\sigma^\prime}^\dagger+a_{\bold{k}\sigma}^\dagger a_{\bold{k}\sigma^\prime})$$
角动量密度为：
$$\mathcal{J}_k=\epsilon_{ijk}x^j\mathcal{P}^j+\epsilon_{ijk}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0A^i)}A^j=\mathcal{M}_k+\mathcal{S_k}$$
第一项是轨道角动量，而第二项为自旋角动量，其算符表示为：
$$S_k=\int \mathrm{d}^3x\mathcal{S_k}=\frac{i}2 \int \mathrm{d}^3\bold{k} \epsilon_{ijk}e^\sigma_{\bold{k}i}e^{\sigma^\prime}_{\bold{k}j}(a_{\bold{k}\sigma}a_{\bold{k}\sigma^\prime}^\dagger-a_{\bold{k}\sigma}^\dagger a_{\bold{k}\sigma^\prime})$$
其中$e^\sigma_{\bold{k},i=1,2,3}$是一组单位极基矢。

接下来我们计算传播子，考虑存在有源情况下矢量场的运动方程：
$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu$$
在动量空间中，我们有：
$$(-p^2 g^{\mu\nu}+p^\mu p^\nu)A_\mu=J^\nu$$
其动量空间的格林函数正是$\Pi^{\mu\mu}=(-p^2g^{\mu\nu}+p^\mu p^\nu)^{-1}$，但$det(-p^2\delta^\nu_\mu+p^\nu p_\mu)=0$，这让求逆操作不可行。一个技术上常用的方式是为拉氏量引入辅助项：
$$\mathcal{L}=-\frac 14 F_{\mu\nu}^2-\frac 1 {2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2-J_\mu A^\mu$$
此时运动方程变为：
$$\left[-p^2g^{\mu\nu}+\left(1-\frac 1\xi\right)p^\mu p^{\nu}\right]A_\mu=J^\nu$$
我们可以得到，其传播子为：
$$i\Pi^{\mu\nu}=\frac{-i}{p^2+i\epsilon}\left[g^{\mu\nu}-(1-\xi)\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}\right]$$
这被称为协变规范下的传播子。

取$\xi=1$，我们得到Feynman规范，容易验证此时的运动方程回到有源d’Alembert方程，此时传播子为：
$$i\Pi^{\mu\nu}(p)=\frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2+i\epsilon}$$
取$\xi=0$，我们发现这强迫$\partial_\mu A^\mu=0$，这正是Lorenz规范：
$$i\Pi^{\mu\nu}(p)=-i\frac{g^{\mu\nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}}{p^2+i\epsilon}$$
在计算中为了便利，一般采取Feynman规范下的传播子。

参考文献

[1] Shwartz. QUANTUM FIELD THEORY AND THE STANDARD MODEL

[2] Weinberg. The Quantum Theory of Fields Vol.1

[3] 王正行. 《简明量子场论》