【已解决】考研数学线性代数对角化题目求助！

我知道A是对的

BC等价，且都是充要条件

D是否等价于矩阵是实对称阵？
我知道：实对称阵必可以相似对角化，但是能对角化不一定得是实对称阵。
所以能否请教大佬指出D的错误之处，最好能有反例。
感激不尽！

D对于任何矩阵都成立

Yonh
属于不同特征值的特征向量都线性无关，这是成立的。

但是未必正交？
比如（1， 0），（1， 1），线性无关，但内积 = 1，不正交。

佐仓杏子不好意思没看题口胡了（）
上面那个结论是对所有对称矩阵成立。
对于原题的D，随便找个反例，比如
1 1 0
0 1 0
0 0 2
他的特征向量(x, 0, 0)^t 和(0, 0, z)^t 正交，但是这个矩阵不能对角化。因此D不是充分条件。

Yonh
你举的例子真好！
对于二重特征值 λ = 1, 只能找到一个特征向量，所以不能对角化。

非常感谢！

[未知用户]
他的例子是一个二阶约当块λ = 1，和一个一阶约当块 λ = 2，组合在一起
前者代数重数2，几何重数1，故不能对角化。

感谢！又学到了构造方法

忍不住想吐槽：没固定内积哪来的正交？

flxg
确实不过作为考研题
一般没有特殊说明都是欧几里得内积

佐仓杏子
简单来说，它只要求了特征值不同的特征向量正交，但是相同特征值的特征向量张成的特征子空间可能是退化的（维数低于特征向量个数）