民科|庞加莱回归定理

coca-cola

以下为想象时刻:

在上热统时看到微观可逆宏观不可逆这句话,思绪有点飘荡,想到了之前看过的庞加莱回归

微观粒子遵循力学规律,而力学规律具有可逆性,但是大量粒子组成的宏观系统由于熵增原理从而只能向熵更高的状态演化

但是细一想其实会发现这个是有点矛盾的

热寂的前提是:宇宙是一个封闭系统

但是对于一个封闭系统,他的每一个粒子都遵循一套运动规律

一个简单例子:一个粒子在一个球体封闭空间中以一个初始状态运动,然后在多次碰撞后总会回到初始状态(速度,位置)

但是到两个粒子时,忽然有了一个小问题:

假设存在两个粒子,各自初始状态静止,然后在引力作用下相互靠近,直到发生一个碰撞

这里稍微插一嘴,由于考虑的是微观的基本粒子(我们假设存在基本粒子,最基本的不可再分的那种,其实是只会发生弹性碰撞的)

所以两个粒子会在碰撞交换速度后回到初始状态

那么对于三个粒子,就是经典的三体问题,鉴于薄弱的数学基础,这里直接上庞加莱定理

庞加莱定理

如果认可庞加莱定理,那么之后的相总会无限接近初始相(不是相等)

对于更多粒子其实都一样,相点总会无限逼近于初始相点

那到这里是不是可以得到结论,真的没办法回到初始状态了吗?

本来一开始的激动荡然无存,只剩下对于复杂体系不可逆的悲哀

但是真的没办法了吗?

忽然想到初中物理课本中的一句话:粒子总是在无规则运动

是啊,绝对0度是不会达到的,所以无论如何,微观粒子总是存在无规则振动的,那么从无限逼近初始相点到完全重合相点的概率好像不再是绝望的0,而宇宙的魅力就在于漫长,只要不是0,在足够长的时间后,总是会有很巧的一次无规则振动让相点与初相点重合,庞加莱回归真的存在!

于是得到民科等式:

庞加莱定理+粒子无规则振动+宇宙是封闭体系=庞加莱回归(bushi)

alexzeng

the math theorem you refers to might shows that the action g is recureently, so you have not reached macroscopic, since your action is gⁿ, if we might as well assume g is a time translation operator like |P_t> to |P_(t+c)>, then gⁿ overlooked many time instant

coca-cola

Carl 其实没太看明白,大概翻译一下"你引用的数学公式表明动作g是可逆的,所以你还没有达到宏观,因为你的动作是g^n,如果我们也可以假设g是一个类似|P_t>到|P_{t+c}>的时间平移操作,这样g^n忽略了许多时间瞬间"

其实我认为这个庞加莱定理在数学上首先给出一个保持体积的连续映射g和一个有界区域D.这个g的形式不重要,只要它满足映射到D上的结果还是有界区域D就行,虽然区域D里面的点在映射后可能位置发生了很大的变化,但是都不重要.因为这个定理说n次映射后,原来的一点的领域U中的一点x\in U总会回到U中(即无限接近x点)

类推到一个力学体系的相流g^t,把满足T+U\leq E的区域定义为有界区域D,那么利用这个庞加莱定理,任意一个相点x在数次g后总会无限趋近于原来的相点x,而这与有界区域里面的相点数量并无关系.

那么再来看宏观的问题,其实宏观和微观没有本质区别,只是我们普遍习惯于用宏观的理论来应用于宏观的世界,但是我们也可以用微观的理论应用于宏观的世界,本质只是这个有界区域D更大了,包含的相点更多了,但是从本质上都可以应用这个庞加莱定理.

回头看看这一切的条件:区域D是一个欧氏空间中的有界区域,g是保持体积的连续一对一映射,g把区域D映射到它自身

如果我们认为宇宙是一个有界区域并且是欧式空间(目前来看是的),而物理学规律作用到宇宙上后宇宙还是宇宙这个区域,每个粒子在物理学规律作用后还是这个粒子(但是有湮灭,这个不知道怎么解释,如果刨除这些湮灭和凭空产生的粒子对,那么物理学规律对于宇宙就是一一映射的),但是保持体积这一点很难解释,只能说作用后粒子的数目不变,但是体积其实还是在变的

而庞加莱定理本身只是一个数学定理,并没有考虑这些点本身的属性,而我们知道,只要温度不是绝对0度,那么粒子总是在无规则运动,那么就存在当粒子无限接近原来的相时再发生一个恰当的无规则运动,使得无限接近变成一模一样

综上: 庞加莱定理+粒子无规则运动+宇宙是有界区域=庞加莱回归(很久很久之后宇宙还会回到我们这一刻)

Weyl

coca-cola
谁说（目前看来）宇宙是有界区域的而且是欧氏空间的？

现在没有这样的公认，而且欧氏空间是无界的

另外这个有界性的要求是对相空间说的不是对坐标空间说的

chris-Li

coca-cola 而庞加莱定理本身只是一个数学定理,并没有考虑这些点本身的属性,而我们知道,只要温度不是绝对0度,那么粒子总是在无规则运动,那么就存在当粒子无限接近原来的相时再发生一个恰当的无规则运动,使得无限接近变成一模一样

我们先阐明一些定义，首先，无规则运动并不指的是运动是随机的，恰恰相反，运动是确定的，而且是满足动力学的，只不过在宏观上看，每个粒子的轨迹是没有规律的。很难想象一个物理专业的本科生能把它解释为可以在相空间进行微扰，God bless you.

不过，一个好消息是由于量子效应，同一个相格内的态是不可分辨的，这意味着根本不需要什么微扰就可以回到初始态。

alexzeng

Weyl 别急，您说的都对，别急，我们导师组上午讨论班将围绕weyl’s law的主题，具体为：

如何证明矩阵的特征值一般没有重数？

没睡觉，合适吗。

chris-Li

Weyl
他的欧式空间估计指的是空间是平直的，这点就很值得商榷，根据广义相对论，空间显然不是平直的，而根据量子力学，相空间是量子化的。甚至连重建“那个”空间都无法保证，何谈回到那个相点？

Weyl

Carl
不好意思，我这儿是大白天

Weyl

恋曲1980
在宇宙学尺度上，忽略perturbation，也没办法确定时空是否是平直的，而如果宇宙真的是平直的（闵氏时空），并且排除非平凡的拓扑，那意味着无界空间，反而无法使用庞加莱始态复现原理了。

另外宇宙还有暗能量和暴涨场这种东西，很多对封闭孤立系统的断言比如守恒量对于宇宙而言根本不成立，很难相信始态复现会出现在以宇宙尺度。

但是如果宇宙真的是无限的，可以考虑系综意义下的庞加莱原理，就是说对于宇宙中任意有界区域，总能找到一个与之足够接近的另一有界区域。例如，如果宇宙真的无限，那在宇宙的某个地方一定存在一个几乎一模一样的地球，上面有和我们一模一样的人，正在茶馆上聊天。

MD_SPer

这看上去和遍历性有关，如果非遍历的话动力学最终卡在某个不动点或者极限环上自然就不会回归了。当然也看是决定论还是非决定论，如果随机性是内禀属性，也即非决定论，那回得去的概率应该非零吧，这就好多了。感性角度看我希望有回归，无限时间后能出现另一个自己，无意识状态下这无限也不过转瞬即逝，这样死亡就不是终点，也不用太过畏惧死亡了。