Bogoliubov变换是多体系统产生湮灭算符间的线性变换，保持正则（反）对易关系（辛结构）不变。这一变换常用于对多体哈密顿量进行对角化。在含时系统与弯曲时空量子场论中，Bogoliubov变换也有广泛的应用，因为其给出了不同（时刻）真空态下产生湮灭算符的变换关系。在宇宙学领域，Bogoliubov变换有助于我们理解Unruh效应、Hawking辐射与膨胀时空中的粒子产生。

本文将从含时谐振子的讨论引入Bogoliubov变换，讨论弯曲时空量子场论中的Bogoliubov变换并在最后简要讨论其在宇宙学中的应用。

1 Bogoliubov变换的引入：含时谐振子

1.1 含时谐振子

考虑有如下运动方程的的谐振子：
$$\ddot{q}(t)+\omega^2(t)q(t)=0 \tag{1}$$
其频率$\omega(t)$随时间演化。原则上时间演化的形式是任意的，但通常情况下，我们考虑渐近平坦的演化：当$t\to -\infin$时，$\omega(t)\to\omega_0$ ；当$t\to +\infin$时，$\omega(t)\to\omega_1\neq\omega_0$。也就是说，存在某个时间$t_0$使得当$t<t_0$时，$\omega(t)$几乎为一常数$\omega_0$，我们将这之前的粒子能量本征态称为入态（in-state）；相应地，存在某个时间$t_{i}$使得$t>t_1$时，$\omega(t)$几乎为一常数$\omega_1$，这时的能量本征态称为出态（out-state）。

通常情况下，含时谐振子没有解析解，但对于上述具有良好渐近性质的谐振子，我们可以解析地建立出态粒子与入态粒子的变换关系，这一变换就是Bogoliubov变换。

回忆海森堡表象下不含时谐振子产生-湮灭算符与位置-共轭动量算符的关系：
$$\hat{q}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(\hat{a}e^{-i\omega t}+\hat{a}^\dagger e^{i\omega t}) \tag{2}\\$$

$$\hat{p}(t)=\frac{\sqrt{\omega}}{i\sqrt{2}}(\hat{a}e^{-i\omega t}-\hat{a}^\dagger e^{i\omega t}) \tag{3}$$

或者更对称地，将(3)改写为：
$$\hat{p}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\omega}}(\hat{a}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{(e^{-i\omega t})}+\hat{a}^\dagger \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{(e^{i\omega t})}) \tag{4}$$
仿照此写出含时谐振子的位置-共轭动量算符：
$$\hat{q}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}v^\star(t)+\hat{a}^\dagger v(t)) \tag{5}$$

$$\hat{p}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}\dot v^\star(t)+\hat{a}^\dagger \dot v(t)) \tag{6}$$

其中$v(t)$承载了所有的时间演化，$\dot v(t)\equiv {\mathrm{d}}v(t)/{\mathrm{d}t}$.

我们依据两个原则确定$v(t)$的形式：

• 保持位置-动量与产生-湮灭的正则对易关系不变
• 基态能量$\left<0\right|\hat{H}\left|0\right>$有最小值

由式(5)、(6)，我们有：
$$[\hat q,\hat p]=\frac 12([\hat a,\hat a ^\dagger](v^\star\dot v-\dot v^\star v))\tag{7}$$
由$[\hat q,\hat p]=[\hat a, \hat a^\dagger]=1$，我们有：
$$v^\star\dot v-\dot v^\star v=2i \tag{8}$$
代入式(5)、(6)，得到产生湮灭算符的表示：
$$\hat a=\frac{\dot v(t)\hat q(t)-v(t)\hat p(t)}{i\sqrt 2} \tag{9}$$

$$\hat a^\dagger=-\frac{\dot v(t)^\star\hat q(t)-v(t)^\star\hat p(t)}{i\sqrt 2} \tag{10}$$

考虑体系能量：
$$E(t)=\left<0\right|\hat{H}\left|0\right>=\frac{\abs{\dot v}^2+\omega^2(t)\abs{v}^2}{4} \tag{11}$$
在给定时间$t^\prime$，将(8)式代入，令$E(t^\prime)$最小，可求得此时的$v(t^\prime)$：
$$v(t^\prime)=\frac{1}{\sqrt{\omega{(t^\prime)}}},\ \dot v(t^\prime)=i\omega(t^\prime)v(t^\prime)\tag{12}$$
我们发现这一条件的成立依赖于时间，这意味着不同时刻满足最小能量的波模函数不同。代入(11)可求得基态能量为：
$$E(t^\prime)=\frac12\omega(t^\prime) \tag{13}$$
在不含时情形下回到基态。

1.2 含时场的Bogoliubov变换

由于位置算符$\hat q(t)$是$v(t)$与其复共轭的线性组合，且$v(t)$承载了$\hat q(t)$的全部时间演化，故$v(t)$也满足含时谐振子的运动方程：
$$\ddot v(t)+\omega^2(t)v(t)=0 \tag{14}$$
考虑解的渐近形式，我们有：
$$v_{in}(t)\propto e^{i\omega_0 t} \tag{15}$$

$$v_{out}(t)\propto e^{i\omega_1 t} \tag{16}$$

分别为入态与出态的解。由于任意两个独立解构成二阶方程(12)所有解得一组基，我们写下入态在出态基上的展开：
$$v_{in}(t)=\alpha v_{out}(t)+\beta v_{out}^\star (t) \tag{17}$$
其中$\alpha$与$\beta$称为Bogoliubov系数。代入式(9)、(10)得到出入态产生-湮灭算符间的变换关系：
$$\hat a_{in}=\alpha \hat a_{out}-\beta \hat a_{out}^\dagger \tag{18}$$

$$\hat a_{out}=\alpha^\star \hat a_{in}+\beta \hat a_{in}^\dagger \tag{19}$$

如果$\beta$非零，那么出态湮灭算符不等于入态湮灭算符，入态真空也不再等于出态真空：考虑出态粒子数算符$\hat a_{out}^\dagger \hat a_{out}$在入态真空上的平均值，我们很容易看出这一点：
$$\left<0_{in}\right|\hat a_{out}^\dagger \hat a_{out}\left|0_{in}\right>=\left<0_{in}\right|(\alpha \hat a_{in}+\beta^\star \hat a_{in}^\dagger)(\alpha^\star \hat a_{in}+\beta \hat a_{in}^\dagger) \left|0_{in}\right>=\abs{\beta}^2\neq0$$
其中入态真空的定义为$a_{in}\left|0_{in}\right>=0$.

1.3 出入态间的关系

将入态真空在出态上展开：
$$\left|0_{in}\right>=\sum^\infin_{n=0}c_n\left|n_{out}\right>$$
为了求解展开系数$c_n$，我们将入态湮灭算符作用在真空上：
$$0=\hat a_{in}\left|0_{in}\right>=(\alpha \hat a_{out}-\beta \hat a_{out}^\dagger)\sum^\infin_{n=0}c_n\left|n_{out}\right>$$
由此得到：
$$\alpha \sqrt{n+1} c_{n+1}-\beta\sqrt{n}c_{n-1}=0$$
由此得到：
$$c_{2n}=c_0\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n\frac{\sqrt{(2n-1)!!}}{\sqrt{(2n)!!}}$$
由归一化条件$\left<0_{in}|0_{in}\right>=1$，我们可以得到：
$$c_0=\left(\sum^\infin_{n=0}\left(\frac{\abs{\beta}}{\abs{\alpha}}\right)^{2n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^{-\frac12}=\left(1-\left(\frac{\abs{\beta}}{\abs{\alpha}}\right)^2\right)^{\frac14}$$
其中假设了$c_0$为实数。由此我们得到出入态的变换系数：
$$c_{2n}=\left(1-\left(\frac{\abs{\beta}}{\abs{\alpha}}\right)^2\right)^{\frac14}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n\frac{\sqrt{(2n-1)!!}}{\sqrt{(2n)!!}}$$

2 弯曲时空量子场论中的Bogoliubov变换

2.1 FRW度规下的量子场论

考虑弯曲时空中自由标量粒子的最小耦合拉氏量：
$$S=\frac12\int \sqrt{-g}\mathrm{d}^4x\left[(\partial\phi)^2-m^2\phi^2\right]$$
其中 $(\partial\phi)^2=g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi$，其运动方程为：
$$\partial^2\psi+\frac1{\sqrt{-g}}\partial_\mu\phi\partial_\nu g^{\mu\nu}+m^2\phi=0$$
为弯曲时空中的Klein-Gordon方程。

由于我们接下来的讨论基于平坦宇宙，考虑平坦均匀各向同性的FRW度规：
$$ds^2=dt^2-a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2)=a^2(\eta)(d\eta^2-d\bold{x}^2)$$
其中$\eta$为共形时间，满足$d\eta={dt}/{a(t)}$。为了简洁地写出FRW度规下的标量场作用量，引入新的场量$\chi\equiv a(\eta)\phi$ ：
$$S=\frac12\int d^3\bold{x}d\eta \left[\chi^\prime-(\nabla\chi)^2-m_{eff}^2(\eta)\chi^2\right]$$
其中$\chi^\prime=\partial\chi/\partial\eta$，新场量的等效质量$m_{eff}^2=m^2a^2-(a^{\prime\prime}/a)$。其运动方程为：
$$(\partial_{\eta}^2-\nabla^2+m_{eff}^2)\chi=0$$
与闵氏时空量子场论一样，我们写出其场算符：
$$\hat\chi(\bold{x},\eta)=\int\frac{d^3\bold{k}}{\sqrt{(2\pi)^3}}\frac{1}{\sqrt{2}} [\hat a_\bold{k}v^\star_k(\eta)e^{i\bold{k}\cdot\bold{x}} +\hat a_\bold{k}^\dagger v_k(\eta)e^{-i\bold{k}\cdot\bold{x}}]$$
其中产生-湮灭算符以及场算符与共轭动量算符满足正则对易关系。

2.2 弯曲时空标量场的Bogoliubov变换

与谐振子中的讨论一致，波模函数$v_k(\eta)$的选取必须满足正则对易关系，但满足这一条件的波模函数选取并不是唯一的。我们还要求选取的波模函数最小化基态能量，但注意到与含时谐振子中的情况一样，这里的哈密顿量随时间演化，因而不同时刻的基态能量不同，故波模函数的选取也将随时间变化。现在考虑两组满足对易关系的波模函数$u_k(\eta)$与$v_k(\eta)$，我们将$v_k(\eta)$展开在$u_k(\eta)$及其复共轭构成的基上：
$$v_k^\star(\eta)=\alpha_k u_k^\star(\eta)+\beta_k u_k(\eta)$$

$$v_k(\eta)=\alpha_k u_k(\eta)+\beta^\star_k u_{-k}(\eta)$$

两组波模函数自然也对应两组不同的产生-湮灭算符$\hat a_\bold k$与$\hat b_\bold k$，考虑在波模函数$u_k(\eta)$上展开的场算符：
$$\hat\chi(\bold{x},\eta)=\int\frac{d^3\bold{k}}{\sqrt{(2\pi)^3}}\frac{1}{\sqrt{2}} [\hat b_\bold{k}u^\star_k(\eta)e^{i\bold{k}\cdot\bold{x}} +\hat b_\bold{k}^\dagger u_k(\eta)e^{-i\bold{k}\cdot\bold{x}}]$$
我们得到两组场算符间的关系：
$$\hat b_\bold k=\alpha_k\hat a_\bold k+\beta^\star\hat a_{-\bold k}^\dagger$$

$$\hat b_\bold k=\alpha_k ^\star\hat a_\bold k^\dagger+\beta\hat a_{-\bold k}$$

类似第一节中的讨论，要满足最小基态能量，波模函数必须满足：

容易看出，在随时间演化的情况下，某一时刻满足此条件的波模函数在下一时刻就可能不再满足，因此我们在渐进条件下考虑了两组不同的波模函数基。这两组波模函数分别定义了不同的产生-湮灭算符，也就意味着定义了两种不同的真空。两种真空态的能量不同，我们好奇的是其中一种真空态转换到另一种真空态时有多少能量产生——这意味着粒子产生。为了定量描述这一过程产生的粒子，我们依然考虑b粒子数算符在a真空态上的期望：

与第一节结果类似，只是我们此处得到的是模式chi_k的粒子数，总粒子数是所有模式粒子数的求和。

2.3 简单情形的Bogoliubov系数计算

接下来我们尝试在最简单的形式下计算含时谐振子的Bogoliubov系数。其频率为一阶跃函数：

我们发现，当且仅当omega1=omega2时，系数beta为零，这意味着只要omega1neqomega2，就会有粒子产生。

2.4 含时谐振子的解析解

在谐振子具有良好渐近性质的情况下，我们可以进行解析计算，这将为后续考虑Bogoliubov变换在宇宙学中的应用打下基础。不妨考虑双曲正弦形式的频率函数：

我们注意到$\abs{\beta}^2\neq0$当且仅当$\omega_{in}=\omega_{out}$，也即只要$\omega_{in}\neq\omega_{out}$，就会有粒子产生。

3 Bogoliubov变换估计宇宙学参数

Bogoliubov变换产生的粒子还存在纠缠，而这一纠缠编码了场随时间演化的历史，我们可以采用纠缠熵这一量化指标很好地约束某些宇宙参数。

3.1 纠缠熵

3.2 估计宇宙学参数

考虑如下形式的尺度因子：
$$a^2(\eta)=1+\epsilon tanh(\lambda\eta)$$

其中$\epsilon$与$\lambda$为描述宇宙膨胀速度的参数，这与暴胀期宇宙的尺度因子变化类似，。

考虑粒子质量$m\ll 2\lambda\epsilon^{-\frac12}$的极限，我们得到：
$$\epsilon\simeq\frac{2E_k^2}{m^2}\sqrt{\gamma(s)}$$

$$\lambda\simeq\frac{\pi E}2\frac{1+\gamma(s)}{-\frac E4\frac{d}{dE}ln\gamma(s)-1}$$

这意味着，如果我们能计算宇宙膨胀前后两个模式间的纠缠，我们就能估计参数$\epsilon$与$\lambda$。