这其实是高道能量子场论的命题（好怪）小论文（明天ddl
基本上参照（翻译）了Schwartz，参考了Weinberg和Srednicki，自己梳理了一遍。
白天继续肝orz

矢量场（自旋1粒子）的量子化

我们知道，粒子是庞加莱群的不可约表示。由于不变量的要求，我们期望对粒子的变换是幺正的。Wigner证明，任何不可约幺正表示可被两个量子数质量m和自旋J标记，其中自旋J=0,\frac 1 2,1,\frac 3 2,\dots只能取整数或者半整数；如果J\gt 0，那么对于正质量粒子而言有2J+1个态，而对零质量粒子而言有2个态。为了考虑自旋为J=1的粒子，我们将这个不可约表示嵌入到以时空为指标的矢量场A^\mu中——这是庞加莱群的一个非幺正表示。我们会发现两种表示在自由度上的差异，A^\mu有4个自由度，而有质量自旋1粒子只有3个自由度、无质量自旋1粒子只有2个自由度，这种冗余自由度将带来规范对称性以及一些问题。在下文中，我们用矢量场代指自旋1粒子场。让我们首先考虑有质量矢量场的量子化。

有质量矢量场的量子化

按照最简单的想法，我们仿照标量场的形式构造出矢量场的拉氏量：
\mathcal{L}=-\frac 12 \partial_\nu A^\mu \partial ^\nu A_\nu+\frac 12 m^2 A_\mu A^\mu
由此得到运动方程为：
(\Box+m^2)A^\mu=0
我们可以得到四个独立的运动模式，也就是四个分量分别作为有质量标量场运动，这不是我们想要的。进一步计算能量密度，会发现这一场的能量密度是非正定的，因此我们尝试换一种方法构造拉氏量，考虑所有可能构造出的Lorenz标量，最一般的自由拉氏量有如下形式：
\mathcal{L}=\frac a 2 A_\mu \Box A^\mu+\frac b 2 A_\mu\partial^\mu\partial_\nu A^\nu +\frac 1 2 m^2 A_\mu A^\mu
其运动方程为：
a\Box A^\mu +b\partial^\mu\partial_\nu A^\nu+m^2A^\mu=0
两边求导可得：
\left[(a+b)\Box+m^2\right](\partial_\mu A^\mu)=0
现在我们看到\partial_\mu A^\mu描述了一个标量粒子的运动，正如一开始讨论的那样，A^\mu中存在冗余自由度。如果我们要求a=-b，那么对于m\neq0粒子而言，它将约化为\partial_\mu A^\mu=0，成功移除了多余的一个自由度，由此我们可以写出有质量矢量场的拉氏量：
\mathcal{L}=-\frac 14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac 12 m^2A_\mu A^\mu
其中F^{\mu\nu} \triangleq \partial ^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu，称为麦克斯韦张量。这一拉氏量称为Proca拉氏量。注意到对于有质量场，此时已无冗余的规范自由度，其运动方程为：
\begin{cases} (\Box+m^2)A^\mu=0\\ \partial_\mu A^\mu=0 \end{cases}
其能量密度为：
\mathcal{E}=\frac 12 (\vec{E}^2+\vec{B}^2)+\frac12 m^2(A_0^2+\vec{A}^2)+\partial_i(\dots)
其中\vec{E}\triangleq\partial_t \vec{A}-\nabla A_0,\ \vec{B}\triangleq \nabla\times\vec{A}，容易看出该能量是正定的。

对于Proca场，其解的一般形式为：
A^\mu(x)=\int\frac{\mathrm{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3}\sum_i\left(\tilde{a_i}(\vec{p})\epsilon_i^\mu(p)e^{ipx}\right)
为了满足\partial_\mu A^\mu=0，极化矢量需要满足p_\mu\epsilon^\mu_i(p)=0，且我们约定它是归一的\epsilon^\star_\mu \epsilon_\mu=-1，根据前面的讨论，极化矢量有三个独立基矢，对于沿z方向运动粒子而言，我们可以方便的取为：
\epsilon_\mu^1=(0,1,0,0),\ \epsilon_\mu^2=(0,0,1,0),\ \epsilon_\mu^3=(\frac{p_z}{m},0,0,\frac Em)
前两个被称为横向极化矢量，第三个称为纵向极化矢量\epsilon^L_\mu。

对于有质量矢量场的量子化，类比标量场得到其场算符为：
A^\mu(x)=\int\frac{\mathrm{d}^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \frac 1{\sqrt{2\omega _p}} \sum_{j=1}^3\left(\epsilon_j^\mu(p)a_{p,j}e^{-ipx}+\epsilon_j^{\mu\star}(p)a_{p,j}^\dagger e^{-ipx}\right)
其中产生算符的作用为：
a^\dagger_{p,j}\left|0\right>=\frac 1{\sqrt{2\omega_p}}\left|p,\epsilon_j\right>
当我们考察z方向的boost时，我们会发现刚刚定义的三个基矢独立变换而不与彼此发生混合，因此保持动量不动的变换群——庞加莱群的一个子群、称为小群才是刻画这一表示的变换群；容易证明这一小群是SO(3)，我们将这一表示称为小群诱导表示。

接下来我们着重考虑无质量矢量场（光子）的规范对称性与其量子化和最小耦合，并计算其能量动量、自旋角动量与传播子。